GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Punktsymmetrie</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Punktsymmetrie</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die <b>Punktsymmetrie,</b> auch <b>Inversionssymmetrie</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> oder <b>Zentralsymmetrie</b><sup id="cite_ref-meyers_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-meyers-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, ist in der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> eine Eigenschaft einer <a href="Geometrische_Figur" title="Geometrische Figur">Figur</a>. Eine Figur ist <b>punktsymmetrisch,</b> wenn sie durch die <a href="Spiegelung_(Geometrie)" title="Spiegelung (Geometrie)">Spiegelung</a> an einem <b>Symmetriepunkt</b> auf sich selbst abgebildet wird.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Eine (ebene) <a href="Geometrische_Figur" title="Geometrische Figur">geometrische Figur</a> (zum Beispiel ein Viereck) heißt <i>punktsymmetrisch,</i> wenn es eine <a href="Spiegelung_(Geometrie)" title="Spiegelung (Geometrie)">Punktspiegelung</a> gibt, die diese Figur auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als <i>Symmetriezentrum</i> bezeichnet.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Punktspiegelung_als_Drehung_(und_Spiegelung)"><span id="Punktspiegelung_als_Drehung_.28und_Spiegelung.29"></span>Punktspiegelung als Drehung (und Spiegelung)</h2></div>

<p>In der <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> (zweidimensionaler <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischer Raum</a>) entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt. Hier ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der <a href="Drehsymmetrie" class="mw-redirect" title="Drehsymmetrie">Drehsymmetrie</a>.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht die Punktspiegelung einer Drehung der geometrischen Figur um 180° um den Symmetriepunkt und anschließender Spiegelung an der zur Drehachse senkrechten Ebene durch den Symmetriepunkt.

</p><p>Allgemeiner gilt:

</p><p>Im 2N-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180°. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt.

</p><p>Im 2N+1-dimensionalen Raum entspricht die Punktspiegelung N Drehungen um jeweils 180° und anschließender Spiegelung. Die Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt. Der Symmetriepunkt liegt ebenfalls auf der Spiegelebene und alle Drehachsen stehen senkrecht auf der Spiegelebene.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Bei einem <a href="Viereck" title="Viereck">Viereck</a> liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein <a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramm</a> handelt. Das Symmetriezentrum ist dann der Schnittpunkt der Diagonalen. Als Spezialfälle des Parallelogramms sind <a href="Rechteck" title="Rechteck">Rechteck</a>, <a href="Raute" title="Raute">Raute</a> und <a href="Quadrat_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Quadrat (Geometrie)">Quadrat</a> punktsymmetrisch.</li>

<li>Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.</li>

<li>Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.</li>

<li>Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht <a href="Beschr%C3%A4nkt" class="mw-redirect" title="Beschränkt">beschränkt</a> ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.</li>

<li>Ein <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreieck</a> ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.</li>

<li>Ein <a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">regelmäßiges Polygon</a> mit einer geraden Anzahl von Ecken ist punktsymmetrisch.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Punktsymmetrie_von_Funktionsgraphen">Punktsymmetrie von Funktionsgraphen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Überblick"><span id=".C3.9Cberblick"></span>Überblick</h3></div>

<p>Eine in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Graph</a> einer gegebenen <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.529ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> mit dem <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereich</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D\subset \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\subset \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1798221e1270f83ece4ead9abf0bf0c06c041e23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.701ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D\subset \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> und mit reellen Funktionswerten punktsymmetrisch ist.

</p><p>Existiert ein Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b),}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b),}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0066e8fc90702a659ee69bff970050aba59ee02c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b),}" loading="lazy"></span> sodass für die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> die Gleichung

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a+x)-b=-f(a-x)+b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/800b3c79eb043d97f5d8ab846351da48263a8f22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.558ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a+x)-b=-f(a-x)+b}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.095ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in D}" loading="lazy"></span> gilt, dann ist die Funktion <b>punktsymmetrisch</b> bezüglich des Punktes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b).}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b828bde62741f9a659d25b1264068c81c3d0b946.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b).}" loading="lazy"></span> Diese Bedingung ist gleichwertig zu

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2b-f(2a-x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545f315e3f41e3e37fc10ddb5f44927d587f3fb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.167ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2b-f(2a-x)}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wie die Substitution <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to x-a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to x-a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fd0eb87da53a5faefd56de0467a176db3304f23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to x-a}" loading="lazy"></span> zeigt. Im Spezialfall von Punktsymmetrie in Bezug auf den Ursprung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}" loading="lazy"></span> vereinfacht sich diese Bedingung zu

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(-x)=-f(x).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3496996a2ac28bf5626eb661172927b3b0c4009b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(-x)=-f(x).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> gültig, liegt Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs vor. Dann nennt man die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> <a href="Gerade_und_ungerade_Funktionen" title="Gerade und ungerade Funktionen">ungerade Funktion</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_2">Beispiele</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Punktsymmetrie_in_Bezug_auf_den_Koordinatenursprung">Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung</h4></div>

<p>Gegeben sei die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=2x^{5}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x^{5}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90b582e2442e5782c6665f60787d0bcb6b61337c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.709ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x^{5}.}" loading="lazy"></span> Dann gilt

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(-x)=2(-x)^{5}=2(-1)^{5}x^{5}=2(-1)x^{5}=-2x^{5}=-f(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7262b37f6f72b5052d8549caa79a0bd413711610.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.169ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(-x)=2(-x)^{5}=2(-1)^{5}x^{5}=2(-1)x^{5}=-2x^{5}=-f(x)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Also ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch mit Symmetriezentrum im Ursprung (0,0).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Punktsymmetrie_bezüglich_des_Punktes_(0,2)"><span id="Punktsymmetrie_bez.C3.BCglich_des_Punktes_.280.2C2.29"></span>Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (0,2)</h4></div>

<p>Gegeben sei die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=2x^{5}+2.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=2x^{5}+2.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e1354eff3b556098d34d70f6b418c612548cbbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.712ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=2x^{5}+2.}" loading="lazy"></span> Mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a=0}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32584049ed5f72969777f89d69b74ee462875e82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=2}" loading="lazy"></span> erhält man

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)^{5}+2)=}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/583f5dea15d80e2e646e174ffa32d7907b92ad08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.508ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)^{5}+2)=}" loading="lazy"></span></dd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =4-(-2x^{5}+2)=4+2x^{5}-2=2x^{5}+2=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf75d3431d1988149dfe2f2c98402cfb56af0608.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.437ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle =4-(-2x^{5}+2)=4+2x^{5}-2=2x^{5}+2=f(x)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Folglich ist der Funktionsgraph punktsymmetrisch in Bezug auf den Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,2)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32ba2704e55769d5190aaa9493a088b7df8e3996.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,2)}" loading="lazy"></span> und es gilt

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -f(x)+2=f(-x)-2.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e3f991f7d983701886eb906dc3168fcce2ccf68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.202ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -f(x)+2=f(-x)-2.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Um den Symmetriepunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,2)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32ba2704e55769d5190aaa9493a088b7df8e3996.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,2)}" loading="lazy"></span> zu bestimmen, hilft dieses Verfahren nicht. Meist reicht es jedoch, den Funktionsgraphen zu zeichnen und daraus eine Vermutung bezüglich des Symmetriepunktes abzuleiten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Arthur Schoenflies: <cite style="font-style:italic">Krystallsysteme und Krystallstructur</cite>. Teubner, Leipzig 1891 (XII, 638 S., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/krystallsysteme00schogoog/page/n44">Online-Ressourcen</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Punktsymmetrie&rft.au=Arthur+Schoenflies&rft.btitle=Krystallsysteme+und+Krystallstructur&rft.date=1891&rft.genre=book&rft.place=Leipzig&rft.pub=Teubner" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/physik/inversionssymmetrie/7414"><i>Spektrum.de: Inversionssymmetrie.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 5. März 2020</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APunktsymmetrie&rft.title=Spektrum.de%3A+Inversionssymmetrie&rft.description=Spektrum.de%3A+Inversionssymmetrie&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.spektrum.de%2Flexikon%2Fphysik%2Finversionssymmetrie%2F7414"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-meyers-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-meyers_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden.</i> BI-Taschenbuchverlag, 1992, Band 21, S. 258.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Arnfried Kemnitz: <cite style="font-style:italic">Mathematik zum Studienbeginn</cite>. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-8258-5, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>144</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Punktsymmetrie&rft.au=Arnfried+Kemnitz&rft.btitle=Mathematik+zum+Studienbeginn&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9783834882585&rft.pages=144&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg%2BTeubner" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-08" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Punktsymmetrie&oldid=262245115">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>